Page 97 - indexf

yбір (t) біртекті теңдеуінің шешімі және yж(t) дифференциалды
теңдеуінің жеке шешімінің қосындысы болып табылады.

yбір(t)-ті алу үшін T1T2r2+T2r+k=0 сипаттамалық теңдеуін
құрамыз, және r1, r2 түбірлерін табамыз. Егер олар нақты және
әртүрлі болса, онда біртекті теңдеу шешімі мына түрде ізделінеді

yîäí .( t )= C er1t + ,C er2t мұндағы С1 және С2 – бастапқы және кейін
1 2
анықталатын шамаларға тәуелді коэффициенттер. r12= α ± jβ ке-
шенді түбірлер жұбы=на yá³ð (t) eαt (C1 sin βt + C2e cos βt) теңдеу шеші-

мі сәйкес келеді.

Барлық жағдайда жүйе егер түбірлер сол жарты жазықтық-

та жатқан болса орнықты болады екен (бұл біртекті теңдеу ше-

шімі кезінде уақыт өте келе нөлге ұмтылады).

Дифференциалды теңдеудің жеке шешімі (4.33) дифференциал-

ды теңдеуінің оң жақ бөлігі түрінде анықталады. Егер, мысалы,

ол жерде u=e-t экспонентальды функциясы тұрса, онда жеке ше-

шімді де yчастн.=Ce-t экспонента түрінде табу қажет. Егер u=1(t),
онда оны yчастн.=C константа түрінде табу қажет. С-ті анықтау
үшін жеке шешімді дифференциалды теңдеуге қою керек. Туынды

тұрақты нөлге тең екенін ескерсек, онда соңғы жағдайда C=1

екенін табамыз.

С1, С2 тұрақтыларының мәндері бастапқы шарттар шешімі-
нен алынған алмастыру жолымен табылады. Мысалы, бастап-

қы шарт нөл болған жағдайда және С1 және С2 тұрақтылары
y( t ) = C1er1t + C2er2t +1 шешімі түрінде төмендегі теңдеу жүйесі-
мен анықталады:

C1+C2+1=0; r1C1+r2C2=0.
Нысанның тапсырмамен міндетіне (4.33) типінің n-ретті

дифференциалды теңдеуі бірінші ретті дифференциалды теңдеу

жүйесі көмегімен көп қолданылады. Бұл сипаттама матрицалық

сипаттама немесе күй теңдеуі көмегімен жазылған сипаттама

түрінде танымал.

4.3.3. Күй теңдеуі көмегімен берілген сипаттама
Жоғарыда келтірілген 2.5-мысалда күй теңдеуінде келтірілген
дифференциалды теңдеу түріндегі АБЖ сипаттама берілген. Шы-
нында, Жоғарғы математика курсында кейбір жоғарғы ретті
дифференциалды теңдеу түрлері бірінші ретті дифференциалды
теңдеулер жүйесі ретінде келтірілуі мүмкін екендігі дәлелденеді.

⇐ МАЗМҰНЫ 97